Question

17．函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$-k（$\frac{2}{x}$+lnx），k≤0，討論函數(shù)的單調(diào)性．

Answer 1

分析 可先求出導函數(shù)，通過判斷導函數(shù)在某一區(qū)間的正負來判斷原函數(shù)的單調(diào)性．判斷前要對導函數(shù)的形式進行分析，簡化討論過程．

解答 解：f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=$\frac{x（x-2）{e}^{x}}{{x}^{4}}$-k（$\frac{-2}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}$）
=$\frac{（x-2）（{e}^{x}-kx）}{{x}^{3}}$（x＞0）
當k≤0時，kx≤0，
∴e^x-kx＞0，
令f′（x）=0，則x=2，
∴當0＜x＜2時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當x＞2時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2），單調(diào)遞增區(qū)間為（2，+∞）．

點評 本題主要考查導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．