Question

20．先閱讀參考材料，再解決此問(wèn)題：
參考材料：求拋物線弧y=x²（0≤x≤2）與x軸及直線x=2圍成的封閉圖形的面積
解：把區(qū)間[0，2]進(jìn)行n等分，得n-1個(gè)分點(diǎn)A（$\frac{2i}{n}$，0）（i=1，2，3，…，n-1），過(guò)分點(diǎn)A_i，作x軸的垂線，交拋物線于B_i，并如圖構(gòu)造n-1個(gè)矩形，先求出n-1個(gè)矩形的面積和S_n-1，再求$\underset{lim}{n→∞}$S_n-1，即是封閉圖形的面積，又每個(gè)矩形的寬為$\frac{2}{n}$，第i個(gè)矩形的高為（$\frac{2i}{n}$）²，所以第i個(gè)矩形的面積為$\frac{2}{n}$•（$\frac{2i}{n}$）²；
S_n-1=$\frac{2}{n}$[$\frac{4•{1}^{2}}{{n}^{2}}$+$\frac{4•{2}^{2}}{{n}^{2}}$+$\frac{4•{3}^{2}}{{n}^{2}}$+…+$\frac{4•（n-1）^{2}}{{n}^{2}}$]=$\frac{8}{{n}^{3}}$[1²+2²+3²+…+（n-1）²]=$\frac{8}{{n}^{3}}$•$\frac{n（n-1）（2n-1）}{6}$
所以封閉圖形的面積為$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{8}{{n}^{3}}$•$\frac{n（n-1）（2n-1）}{6}$=$\frac{8}{3}$
閱讀以上材料，并解決此問(wèn)題：已知對(duì)任意大于4的正整數(shù)n，不等式$\sqrt{1-\frac{{1}^{2}}{{n}^{2}}}$+$\sqrt{1-\frac{{2}^{2}}{{n}^{2}}}$+$\sqrt{1-\frac{{3}^{2}}{{n}^{2}}}$+…+$\sqrt{1-\frac{（n-1）^{2}}{{n}^{2}}}$＜an恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[$\frac{π}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 作出f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$（0≤x≤1）的圖象，可得為以O(shè)為原點(diǎn)，1為半徑的$\frac{1}{4}$圓．把區(qū)間[0，1]進(jìn)行n等分，得n-1個(gè)分點(diǎn)A_i（$\frac{i}{n}$，0）（i=1，2，3，…，n-1），過(guò)分點(diǎn)A_i，作x軸的垂線，交圖象于B_i，并如圖構(gòu)造n-1個(gè)矩形，先求出n-1個(gè)矩形的面積和S_n-1，再求$\underset{lim}{n→∞}$S_n-1，即是封閉圖形的面積，運(yùn)用圓的面積公式結(jié)合恒成立問(wèn)題的解法，即可得到a的范圍．

解答 解：作出f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$（0≤x≤1）的圖象，
可得為以O(shè)為原點(diǎn)，1為半徑的$\frac{1}{4}$圓．
把區(qū)間[0，1]進(jìn)行n等分，得n-1個(gè)分點(diǎn)A_i（$\frac{i}{n}$，0）（i=1，2，3，…，n-1），
過(guò)分點(diǎn)A_i，作x軸的垂線，交圖象于B_i，并如圖構(gòu)造n-1個(gè)矩形，先求出n-1個(gè)矩形的面積和S_n-1，再求$\underset{lim}{n→∞}$S_n-1，即是封閉圖形的面積，
又每個(gè)矩形的寬為$\frac{1}{n}$，第i個(gè)矩形的高為$\sqrt{1-（\frac{i}{n}）^{2}}$，
所以第i個(gè)矩形的面積為$\frac{1}{n}$•$\sqrt{1-（\frac{i}{n}）^{2}}$；
S_n-1=$\frac{1}{n}$[$\sqrt{1-\frac{{1}^{2}}{{n}^{2}}}$+$\sqrt{1-\frac{{2}^{2}}{{n}^{2}}}$+$\sqrt{1-\frac{{3}^{2}}{{n}^{2}}}$+…+$\sqrt{1-\frac{（n-1）^{2}}{{n}^{2}}}$]，
則封閉圖形的面積為$\underset{lim}{n→∞}$=S_n-1=$\frac{π}{4}$•1²=$\frac{π}{4}$．
由a＞$\frac{1}{n}$[$\sqrt{1-\frac{{1}^{2}}{{n}^{2}}}$+$\sqrt{1-\frac{{2}^{2}}{{n}^{2}}}$+$\sqrt{1-\frac{{3}^{2}}{{n}^{2}}}$+…+$\sqrt{1-\frac{（n-1）^{2}}{{n}^{2}}}$]恒成立，
可得a的范圍是a≥$\frac{π}{4}$．
故答案為：[$\frac{π}{4}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和，注意運(yùn)用極限的思想方法，考查化簡(jiǎn)整理整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．