Question

已知直線：(kR)與圓C:相交于點(diǎn)A、B, M為弦AB中點(diǎn)．

(Ⅰ) 當(dāng)k=1時(shí)，求弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)及AB弦長；

（Ⅱ）求證：直線與圓C總有兩個(gè)交點(diǎn);

（Ⅲ）當(dāng)k變化時(shí)求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）見解析；（3）．

【解析】（1）先直線方程與圓的方程聯(lián)立，求交點(diǎn)坐標(biāo)，再求弦長問題、中點(diǎn)坐標(biāo)；（2）直線過定點(diǎn)，其在圓內(nèi)；3（）利用直線斜率乘積為-1，求軌跡方程.

解 :（Ⅰ）當(dāng)k=1時(shí)，由得   

設(shè)，，則

．∴．  

（Ⅱ）直線：（）過定點(diǎn)且P在圓內(nèi)∴直線與圓總有兩個(gè)交點(diǎn)

（Ⅲ）∵，直線：（）過定點(diǎn)

∴點(diǎn)M在以O(shè)P為直經(jīng)的圓周上．∴設(shè)

∵             

∴點(diǎn)M的軌跡方程．