Question

7．某高校組織自主招生考試，共有2 000名學生報名參加了筆試，成績均介于195分到275分 之間，從中隨機抽取50名同學的成績進行統(tǒng)計，將統(tǒng)計結果按如下方式分成八組：第一組[195，205），第二組[205，215），…，第八組[265，275]．如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，已知筆試成績在260分以上（含260分）的同學取得面試資格．
（Ⅰ）估計所有參加筆試的2000名學生中，取得面試資格的學生人數(shù)；
（Ⅱ）面試時，每位考生抽取三個問題（每人在 回答三個問題時對每一個問題正確回答的概率均為$\frac{1}{2}$）．若三個問題全答錯，則不能取得該校的自主招生資格；若三個問題均回答正確且筆試成績在270分以上，則 獲A類資格（不參加高考，直接錄取）；其它情況下獲B類資格（參加高考，降分錄�。�，武估計獲得A類資格和B類資格的人數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)頻率和為1，求出對應的頻率以及成績在260分以上的頻率，計算對應的頻數(shù)；
（Ⅱ）計算成績在270分以上的人數(shù)，求出其中三題都答對的人數(shù)X的可能取值，
以及三題都答錯的人數(shù)Y，計算對應的數(shù)學期望值．

解答 解：（Ⅰ）設第i（i=1，2，3，…，8）組的頻率為f_i，
由頻率分布圖知，
f₇=1-（0.004+0.01+0.01+0.02+0.02+0.0016+0.008）×10=0.12；
所以成績在260分以上的同學的概率為
P≈$\frac{{f}_{7}}{2}$+f₈=0.14，
故這2000名同學中，取得面試資格的約為280人；                   …（4分）
（Ⅱ）成績在270分以上的同學的人數(shù)約為
$\frac{{f}_{8}}{2}$×2000=80（人），
設80人中三題都答對的人數(shù)為X，則
X～B（$\frac{1}{8}$，80），E（X）=$\frac{1}{8}$×80=10，
所以，獲得A類資格的人數(shù)約為10人；
設280人中三題都答錯的人數(shù)為Y，則
Y～B（$\frac{1}{8}$，280），E（Y）=$\frac{1}{8}$×280=35，
所以，獲得B類資格的人數(shù)約為
280-10-35=235（人）．           …（12分）

點評 本題考查了頻率分布直方圖以及n次獨立重復事件的數(shù)學期望值的計算問題，是綜合題．