Question

18．若函數f（x）=$\frac{1}{2}$（x-1）²+a的定義域和值域都是[1，b]（b＞1），則a+b的值等于（　�。�

• A． -2
• B． 2
• C． 4
• D． 2或4

Answer 1

分析 根據二次函數的圖象與性質，得出關于a、b的方程組，求出a、b的值即可得到結論．

解答 解：函數f（x）=$\frac{1}{2}$（x-1）²+a的定義域和值域都是[1，b]（b＞1），
且f（x）的對稱軸為x=1，
∴函數在[1，b]上單調遞增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=1}\\{f（b）=b}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{{\frac{1}{2}（b-1）}^{2}+1=b}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{^{2}-4b+3=0}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=3或b=1（舍去），
∴a=1，b=3；
∴a+b=4．
故選：C．

點評 本題主要考查了二次函數的單調性的應用，根據二次函數的圖象和性質是解決本題的關鍵．