Question

10．如圖所示，已知圓（x+3）²+y²=100，定點A（3，0），M為圓C上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{AM}$=0，點N的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）求過點Q（2，1）的弦的中點的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）通過向量關(guān)系，判斷點N的軌跡為曲線E．滿足橢圓定義，然后求解橢圓的方程即可．
（2）利用點差法求斜率，即可求過點Q（2，1）的弦的中點的軌跡方程．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{AM}$=0，
∴NP為AM的中垂線，
∴|NA|=|NM|．
又∵|CN|+|NM|=10，∴|CN|+|NA|=10＞6，
∴動點N的軌跡是以點C和A為焦點的橢圓，且2a=10，
∴曲線E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$；
（2）設(shè)直線與橢圓交與G（x₁，y₁）、H（x₂，y₂）兩點，中點為S（x，y），
設(shè)弦的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{16（{x}_{1}+{x}_{2}）}{25（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=-$\frac{16x}{25y}$，
由S（x，y），Q（2，1）兩點可得弦的斜率為k=$\frac{y-1}{x-2}$，
∴-$\frac{16x}{25y}$=$\frac{y-1}{x-2}$，化簡可得中點的軌跡方程為：16x²+25y²-32x-25y=0．

點評 本題考查橢圓的定義的應(yīng)用，軌跡方程的求法，考查計算能力．