Question

在三棱錐PABC中，PA、PB、PC兩兩成角，PA＝a，PB＝b，PC＝c，求三棱錐P－ABC的體積．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　本題實(shí)際是平行六面體內(nèi)的一角，關(guān)鍵是求高． 　　解答　　如圖，設(shè)頂點(diǎn)A在平面PBC的射影為H，連結(jié)PH．由已知，PA、PB、PC兩兩成角， 　　∴PH是∠BPC的平分線，在平面PBC上，過(guò)H作HE⊥PB， 　　連結(jié)AE，∴AE⊥PE．在Rt△PAH中，PH＝PA·cos∠APH， 　　在Rt△PHE中，PE＝PHcos∠HPE，∠PA·cos∠HPE， 　　∴cos∠APE＝cos∠APH·cos∠HPE． 　　∵∠APE＝，∠HPE＝，∴cos∠APH＝， 　　sin∠APH＝． 　　∵PA＝a，∴AH＝a，S△PBC＝bcsin＝bc． 　　∴VP－ABC＝S△PBC·AH＝×bc×a＝abc． 　　評(píng)析　　(1)把A、B、C中的任一個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)(其余三點(diǎn)構(gòu)成的三角形作為底面)是解題的關(guān)鍵，這說(shuō)明改變幾何體的放置方式或改變對(duì)幾何體的觀察角度在解題中是十分重要的．(2)當(dāng)a＝b＝c時(shí)，得到正四面體的體積是a3．(3)若在PA、PB、PC上各任取一點(diǎn)M、N、R，設(shè)PM＝m，PN＝n，PR＝r，則容易證明＝，這一結(jié)論與PA、PB、PC成多大的角無(wú)關(guān)．