Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點(diǎn)C(0，p)作直線與拋物線x2＝2px(p＞0)相交于A、B兩點(diǎn)． (1) 若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，求△ANB面積的最小值； (2) 是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由．(此題不要求在答題卡上畫圖)

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解法1：依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，可設(shè)， 直線的方程為，與聯(lián)立得消去得． 由韋達(dá)定理得，． 于是． ， 當(dāng)時(shí)，． 　　解法2：前同解法1，再由弦長(zhǎng)公式得 ， 又由點(diǎn)到直線的距離公式得． 從而， 當(dāng)時(shí)，．
(2)	解法1：假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為， 的中點(diǎn)為，與為直徑的圓相交于點(diǎn)，的中點(diǎn)為， 則，點(diǎn)的坐標(biāo)為． ， ， ， ． 令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為， 即拋物線的通徑所在的直線． 　　解法2：假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為， 將直線方程代入得， 則． 設(shè)直線與以為直徑的圓的交點(diǎn)為， 則有． 令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為， 即拋物線的通徑所在的直線．