Question

已知函數(shù)f（x）=x²-mln+mx（m∈R）．
（1）當(dāng)m=-1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0，求實(shí)數(shù)m取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)m=-1時(shí)，f（x）=x²+ln-x，定義域?yàn)椋?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1603.png' />，+∞），f′（x）=x+=，
當(dāng)＜x＜0或x＞時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)0＜x＜時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（，0]，[，+∞），單調(diào)減區(qū)間為[0，]；（4分）
（2）f（x）=x²-mln+mx，定義域?yàn)椋?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1603.png' />，+∞），f′（x）=，（6分）
當(dāng)m≥時(shí)，0，當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）≥0，
∴f（x）在[0，+∞）是增函數(shù)，∴當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥f（0）=0，（8分）
當(dāng)m＜時(shí)，-（m+）＞0，當(dāng)0＜x＜-（m+）時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在[0，-（m+）]上是減函數(shù)，
∴當(dāng)0≤x≤-（m+）時(shí)，f（x）≤f（0）=0，不適合，（11分）
∴滿(mǎn)足條件的m的取值范圍為[，+∞）．（12分）
分析：（1）確定函數(shù)的定義域?yàn)椋?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1603.png' />，+∞），求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）確定函數(shù)的定義域?yàn)椋?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1603.png' />，+∞），求導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類(lèi)討論思想，屬于中檔題．