Question

已知拋物線(xiàn)C：y=ax²（a＞0）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為

1

4

，且C上的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）關(guān)于直線(xiàn)y=x+m對(duì)稱(chēng)，并且x1x2=-

1

2

，那么m=

3

2

．

Answer 1

分析：先由拋物線(xiàn)的定義p的意義可求出a，根據(jù)C上的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）關(guān)于直線(xiàn)y=x+m對(duì)稱(chēng)可設(shè)出直線(xiàn)AB的方程，把直線(xiàn)AB的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出直線(xiàn)AB的方程，再根據(jù)線(xiàn)段AB關(guān)于直線(xiàn)y=x+m對(duì)稱(chēng)性即可求出m的值．

解答：解：∵拋物線(xiàn)C：y=ax²（a＞0）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為

1

4

，
∴

1

2a

=

1

4

，解得a=2．
∴拋物線(xiàn)C的方程為：y=2x²（a＞0）．
∵拋物線(xiàn)C上的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）關(guān)于直線(xiàn)y=x+m對(duì)稱(chēng)，
∴可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=-x+t．
聯(lián)立

y=-x+t y=2x2

，消去y得2x²+x-t=0，
∵直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)相較于不同兩點(diǎn)，∴△=1+4t＞0．
據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，x1+x2=-

1

2

，x1x2=-

t

2

，由已知x1x2=-

1

2

，∴t=1．
于是直線(xiàn)AB的方程為y=-x+1，
設(shè)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M（x_M，y_M），則xM=

x1+x2

2

=-

1

4

，
∴y_M=-(-

1

4

)+1=

5

4

．
把M(-

1

4

，

5

4

)代入直線(xiàn)y=x+m得

5

4

=-

1

4

+m，解得m=

3

2

．
故答案為

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握拋物線(xiàn)的定義p的意義、直線(xiàn)（或線(xiàn)段）關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性、中點(diǎn)坐標(biāo)公式是解題的關(guān)鍵．