Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ﹣a是奇函數(shù)
（1）求實數(shù)a的值；
（2）判斷函數(shù)在R上的單調(diào)性并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；
（3）對任意的實數(shù)x，不等式f（x）＜m﹣1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）是奇函數(shù)，有f（﹣x）=﹣f（x），

∴ ﹣a=﹣（ ﹣a），

∴2a=1，∴a=

（2）解：f（x）= ﹣ ，f（x）在R上是增函數(shù)，

下證：設x1、x2∈R且x1＜x2，且x1、x2是任意的，

f（x1）﹣f（x2）

=（ ﹣ ）﹣（ ﹣ ）

= ，

∵x1＜x2，∴ ＜ ，

∴ ＜0，

即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在R上是增函數(shù)

（3）解：對任意的實數(shù)x，不等式f（x）＜m﹣1恒成立，

則只需m﹣1＞f（x）max，

∵3x+1＞1，∴0＜ ＜1，

∴﹣1＜ ＜0，

﹣ ＜ ﹣ ＜ ，即﹣ ＜f（x）＜ ，

∴m﹣1≥ ，∴m≥ ，

即m的取值范圍為：[ ，+∞）

【解析】（1）由奇函數(shù)定義知，有f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，由此可求a值；（2）設x1、x2∈R且x1＜x2 ， 通過作差判斷f（x2）與f（x1）的大小，利用函數(shù)單調(diào)性的定義可作出判斷；（3）對任意的實數(shù)x，不等式f（x）＞2m﹣1恒成立，等價于m﹣1＞f（x）max ， 根據(jù)基本函數(shù)的值域可求出f（x）max ．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．