Question

（07年天津卷理）(14分)

    在數(shù)列中N其中.

    (I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

    (II)求數(shù)列的前項(xiàng)和；

    (III)證明存在N使得對(duì)任意N均成立.

Answer 1

解析：(I)解法一：，

    ，

    .

    由此可猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

    以下用數(shù)學(xué)歸納法證明.

    (1)當(dāng)時(shí)等式成立.

    (2)假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即

那么，

這就是說，當(dāng)時(shí)等式也成立.根據(jù)(1)和(2)可知，等式對(duì)任何N都成立.

解法二：由N可得

    所以為等數(shù)列，其公差為1，首項(xiàng)為0.故

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為

(II)設(shè)                 ①

             ②

    當(dāng)時(shí)，①式減去②式，得

   

   

    這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和

    當(dāng) 時(shí)，這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和

(III)證明：通過分析，推測(cè)數(shù)列的第一項(xiàng)最大.下面證明： ③

    由知要使③式成立，只要因?yàn)?/p>

   

              

    所以③式成立. 因此，存在使得對(duì)任意N均成立.

【考點(diǎn)】本小題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體，主要考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式、數(shù)列求和、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，考查歸納、推理、運(yùn)算及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力.