Question

已知橢圓C長軸的兩個頂點(diǎn)為A（－2，0），B（2，0），且其離心率為.

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若N是直線x=2上不同于點(diǎn)B的任意一點(diǎn)，直線AN與橢圓C交于點(diǎn)Q，設(shè)直線QB與以NB為直徑的圓的一個交點(diǎn)為M（異于點(diǎn)B），求證：直線NM經(jīng)過定點(diǎn)．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)斜率公式，有斜率乘積等于整理即得，注意；（Ⅱ）設(shè)直線的方程，與橢圓方程組成方程組，消去，由韋達(dá)定理求點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線與以為直徑的圓的另一個交點(diǎn)為，得，從而得到直線的方程，確定恒過的定點(diǎn).

試題解析：(Ⅰ)設(shè),由得   ,其中,

整理得點(diǎn)的軌跡方程為.                   (4分)

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，則直線的方程為，

解方程組，消去得，

設(shè)，則，，（8分）

從而，又，

直線與以為直徑的圓的另一個交點(diǎn)為，，

方程為,即,過定點(diǎn),        (12分)

考點(diǎn)：橢圓方程，直線與橢圓的關(guān)系，定點(diǎn)問題.