Question

設(shè)F是橢圓

x2

11

+

y2

15

=1的一個焦點(diǎn)，橢圓上至少有21個點(diǎn)P₁，P₂，P₃，…，P₂₁，使得數(shù)列{P_iF}（i=1，2，…，21）成公差為d的等差數(shù)列，則d的一個可取值是（　�。�

• A．

  1

  2

• B．-

  1

  3

• C．

  1

  4

• D．-

  1

  5

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，可得a-c≤P_iF≤a+c，因此根據(jù)橢圓的基本量算出數(shù)列{P_iF}的公差d滿足：|P₂₁F-P₁F|≤2c=4，解出d∈[-

1

5

，

1

5

]，再對照各個選項(xiàng)即得本題答案．

解答：解：∵橢圓

x2

11

+

y2

15

=1中，a=

15

，b=

11

∴設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F（c，0），可得c=

a2-b2

=2
∵P_i（i=1，2，…，21）是橢圓上的點(diǎn)
∴a-c≤P_iF≤a+c，即

15

+2≤P_iF≤

15

+2
∵數(shù)列{P_iF}（i=1，2，…，21）成公差為d的等差數(shù)列，
∴公差d滿足：|P₂₁F-P₁F|≤2c=4，即-4≤20d≤4，
解之得d∈[-

1

5

，

1

5

]，再對照各個選項(xiàng)，可得只有D項(xiàng)在此范圍內(nèi)
故選：D

點(diǎn)評：本題給出橢圓的21條焦半徑成等差數(shù)列，求公差d的可能值．著重考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔．