Question

7．已知邊長(zhǎng)為3的等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在以O(shè)為球心的球面上，若三棱錐O-ABC的體積為$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，則球的表面積為28π．

Answer 1

分析 由正弦定理求出等邊三角形外接圓的半徑，再利用三棱錐O-ABC的體積為$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，求出球半徑，由此能求出球的表面積．

解答 解：設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r，
∵邊長(zhǎng)為3的等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在以O(shè)為球心的球面上，
∴由正弦定理得$\frac{3}{sin60°}$=2r，解得r=$\sqrt{3}$，
設(shè)△ABC處接圓的圓心為O₁，則OO₁⊥平面ABC，
∴V_O-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}×O{O}_{1}$=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×3×3×sin60°）×O{O}_{1}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
解得OO₁=2，
∴球O的半徑R=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴球的表面積為S=4πR²=4π×7=28π．
故答案為：28π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的表面積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．