Question

已知f（x）=丨2x-a丨-a（a∈R），不等式f（x）≤2的解集為{x丨-1≤x≤3}．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若丨f（x）-f（x+2）丨≤m對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法,函數(shù)恒成立問題

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用不等式轉(zhuǎn)化為絕對值不等式，求出不等式的解集，與已知解集比較，即可求a的值；
（Ⅱ）求出丨f（x）-f（x+2）丨的最大值，然后通過不等式對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由不等式|2x-a|-a≤2，得|2x-a|≤2+a，
∵解集不空，
∴2+a≥0．
解不等式可得{x|-1≤x≤1+a}．…（3分）
∵-1≤x≤3，∴1+a﹦3，即a=2．…（5分）
（Ⅱ）f（x）-f（x+2）=|2x-2|-|2x+2|，
∵|2x-2|-|2x+2|≤|（2x-2）-（2x+2）|=4．…（7分）
|2x-2|-|2x+2|≥|2x|-2-（|2x|+2）=-4．…（9分）
∴-4≤|2x-2|-|2x+2|≤4．
∴|f（x）-f（x+2）|≤4．
∴m≥4．…（10分）

點(diǎn)評：本題考查絕對值不等式的解法，函數(shù)恒成立的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．