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已知數(shù)列{an}與{bn}有如下關(guān)系：a1=2，an+1=(an+)，bn=

(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)令cn=，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式；

(Ⅲ)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，當(dāng)n≥2時(shí)，求證：Sn＜n+.

解:(Ⅰ)∵b1==3∴bn+1=

∴bn==.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知an=∴

∴Cn=+1 

(Ⅲ)∴當(dāng)n≥2時(shí),an+1-1=≤(an-1)

(當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)取等號(hào))且a2=(a1+)=a3-1≤(a2-1)

故a4-1≤(a3-1)…an-1≤(an-1-1)

以上式子累和得Sn-a1-a2-(n-2)≤[Sn-1-a1-(n-2)]

∴10Sn--10(n-2)≤Sn-an-2-n+2∴9Sn≤+9n-

∴Sn≤+n-＜+n-=+n＜+n

∴Sn＜+n(n≥2)得證

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}與{bn}的前n項(xiàng)和分別是Sn和Tn，已知S100=41，T100=49，記Cn=anTn+bnSn-anbn（n∈N*），那么數(shù)列{Cn}的前100項(xiàng)和
100i=1
Ci=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}與{bn}滿(mǎn)足bn+1an+bnan+1=（-2）n+1，bn=
3+(-1)n-1
2
，n∈N*，且a1=2．
（Ⅰ）求a2，a3的值
（Ⅱ）設(shè)cn=a2n+1-a2n-1，n∈N*，證明{cn}是等比數(shù)列
（Ⅲ）設(shè)Sn為{an}的前n項(xiàng)和，證明
S1
a1
+
S2
a2
+…+
S2n-1
a2n-1
+
S2n
a2n
≤n-
1
3
（n∈N*）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}與{bn}滿(mǎn)足：bnan+an+1+bn+1an+2=0，bn=
3+(-1)n
2
，n∈N*，且a1=2，a2=4．
（Ⅰ）求a3，a4，a5的值；
（Ⅱ）設(shè)cn=a2n-1+a2n+1，n∈N*，證明：{cn}是等比數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)Sk=a2+a4+…+a2k，k∈N*，證明：
4n
k=1
Sk
ak
＜
7
6
(n∈N*)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}與{bn}有如下關(guān)系：a1=2，an+1=
1
2
an，bn=
an+1
an-1
則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}與{bn}有如下關(guān)系：a1=2，an+1=
1
2
（an+
1
an
），bn=
an+1
an-1
．
（1）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．
（2）設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，當(dāng)n≥2時(shí)，求證：Sn＜n+
4
3
．

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