Question

已知橢圓C的方程為左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，焦距為4，點(diǎn)M是橢圓C上一點(diǎn)，滿足

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P（0，2）分別作直線PA，PB交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k₁，k₂，，求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)，并求出直線AB的斜率k的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）或.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）在 中,設(shè),,由余弦定理得，

即，即，得.

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051708421515958357/SYS201305170842400345539130_DA.files/image011.png">，，，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051708421515958357/SYS201305170842400345539130_DA.files/image014.png">所以，

所以所求橢圓的方程為.                    

（Ⅱ）顯然直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，，

由得，即，

，，

由得，，又，，

則，，

，

那么，

則直線過(guò)定點(diǎn).                

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051708421515958357/SYS201305170842400345539130_DA.files/image023.png">，，

，

，，

，所以或.  

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．此類題綜合性強(qiáng)，要求學(xué)生要有較高地轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用能力，能將已知條件轉(zhuǎn)化到基本知識(shí)的運(yùn)用