Question

在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，，E，F(xiàn)分別為AB、SB的中點(diǎn)．
（I）證明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求銳二面角F-CE-B的余弦值；
（Ⅲ）求B點(diǎn)到平面CEF的距離．

Answer 1

【答案】分析：（I）取AC中點(diǎn)O，并以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB、OS為x軸、y軸、z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系．給出A、B、S、E、F各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到向量的坐標(biāo)，計(jì)算出數(shù)量積，即可證出AC⊥SB；
（II）根據(jù)題意，算出向量的坐坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組解出為平面CEF的一個(gè)法向量，而為平面ABC的一個(gè)法向量，利用空間向量的夾角公式算出夾角的余弦值，即可得到銳二面角F-CE-B的余弦值；
（III）在平面CEF內(nèi)取點(diǎn)B，得到向量，根據(jù)空間坐標(biāo)系點(diǎn)到平面的距離公式，即可算出點(diǎn)B到平面CEF的距離為．
解答：解：（Ⅰ）取AC中點(diǎn)O，根據(jù)題意可得OA、OB、OS兩兩互相垂直，
因此以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OB、OS為x軸、y軸、z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，則A（1，0，0），
，，，，C（-1，0，0）
∴，
∵
∴，即得AC⊥SB．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
設(shè)為平面CEF的一個(gè)法向量，
則，取z=1，得．
∴平面CEF的一個(gè)法向量為．
又∵為平面ABC的一個(gè)法向量，
∴，
結(jié)合題意二面角F-CE-B是一個(gè)銳二面角，所以二面角F-CE-B的余弦值為．
（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ），可得，
∵為平面CEF的一個(gè)法向量
∴由點(diǎn)到平面的距離公式，可得
點(diǎn)B到平面CEF的距離為 ．
點(diǎn)評(píng)：本題給出底面為等邊三角形且一個(gè)側(cè)面與底面垂直的三棱錐，求證線線垂直并求二面角的大小和點(diǎn)到平面的距離．著重考查了利用空間向量研究平面與平面所成角、點(diǎn)到平面的距離公式和異面垂直的證法等知識(shí)，屬于中檔題．