Question

11．設(shè)全集A={x|x²+4x=0}，B={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0}．
（1）若A∩B={0}時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）如果A∩B=B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接將元素0代入集合B即可求得實(shí)數(shù)a的值；
（2）先由題設(shè)條件求出集合A，再由A∩B=B，導(dǎo)出集合B的可能結(jié)果，然后結(jié)合根的判別式確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得A={0，-4}，
由A∩B={0}得，x=0是方程x²+2（a+1）x+a²-1=0的一個(gè)根，
所以，a=1或a=-1；
當(dāng)a=1時(shí)，B={0，-4}，不合題意；
當(dāng)a=-1時(shí)，B={0}，符合題意；故a=-1．
（2）∵A∩B=B，∴B⊆A，對(duì)集合B分類討論如下：
①當(dāng)B=∅時(shí)，即方程x²+2（a+1）x+a²-1=0無實(shí)根，
所以，△=[2（a+1）]²-4（a²-1）=8a+8＜0，
解得，a＜-1，符合題意；
②當(dāng)B只含一個(gè)元素時(shí)，即方程x²+2（a+1）x+a²-1=0有兩相等實(shí)根，
所以，△=0，解得a=-1，此時(shí)，方程為x²=0，
因此，B={0}，符合題意；
③當(dāng)B含兩元素時(shí)，即B=A={0，-4}，此時(shí)A，B對(duì)應(yīng)的方程同解，
所以，$\left\{\begin{array}{l}{2（a+1）=4}\\{a^2-1=0}\end{array}\right.$，解得a=1，
綜合以上討論得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為：（-∞，-1]∪{1}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了集合的包含關(guān)系的判斷和應(yīng)用，元素與集合的關(guān)系，方程根的討論，體現(xiàn)了分類討論思想，屬于中檔題．