Question

【題目】若函數(shù)滿足：對于任意正數(shù)、，都有，，且，則稱函數(shù)為“函數(shù)”.

（1）試判斷函數(shù)與是否是“函數(shù)”；

（2）若函數(shù)為“函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)為“函數(shù)”，且，求證：對任意，都有.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）利用定義結(jié)合作差法來判斷出函數(shù)與是否是“函數(shù)”；

（2）根據(jù)定義可知，即對切正實數(shù)恒成立，可得出，由可得出，由此可得出實數(shù)的取值范圍；

（3）根據(jù)定義，令，可知，即，故對于正整數(shù)和正實數(shù)，都有，然后利用定義證明出對任意的，，，利用不等式的基本性質(zhì)即可證明出結(jié)論.

（1）對于函數(shù)，

當(dāng)、時，，

即.

對于函數(shù)，

當(dāng)、時，，

因此，函數(shù)是“函數(shù)”，函數(shù)不是“函數(shù)”；

（2）由于函數(shù)是“函數(shù)”，

當(dāng)時，則，，

即，，

由題意知，不等式對任意的正實數(shù)恒成立，則，得.

當(dāng)、時，由，

得，

整理得，

即，

即，即，

、時，，，可得出，

則不等式對一切正實數(shù)、恒成立，，解得.

因此，實數(shù)的取值范圍是；

（3）由于函數(shù)是“函數(shù)”，

可知對于任意的正實數(shù)、，都有，，且，

令，得，則.

故對于任意的正整數(shù)和正實數(shù)，，

對于任意的，可得，

又，所以，，

同理，

因此，.