Question

12．解關于x的不等式ax²-2x-2-a＜0（a＞-1）．

Answer 1

分析 由-1＜a＜0，a=0，0＜a＜1，a≥1，進行分類討論，由此利用分類討論思想和一元二次方程的解法能求出原不等式的解集．

解答 解：（1）當a=0時，有-2x-2＜0，∴x＞-1．
（2）a＞0時，∵△=4-4a（-2-a）=4a²+8a+4=4（a+1）²＞0，
方程ax²-2x-2-a=0的兩根為$\frac{2±2（a+1）}{2a}$，即x₁=-1，${x}_{2}=\frac{a+2}{a}$，
∴不等式的解集為{x|-1＜x＜$\frac{a+2}{2}$}．
（3）當-1＜a＜0時，△=4-4a（-2-a）=4a²+8a+4=4（a+1）²＞0，
不等式ax²-2x-2-a＜0的解集為{x|-1＜x＜$\frac{a+2}{2}$}．
綜上，關于x的不等式ax²-2x-2-a＜0（a＞-1）的解集為：
當-1＜a＜0時，關于x的不等式ax²-2x-2-a＜0（a＞-1）的解集為：{x|-1＜x＜$\frac{a+2}{2}$}．
當a=0時，關于x的不等式ax²-2x-2-a＜0（a＞-1）的解集為：{x|x＞-1}；
當a＞0時，關于x的不等式ax²-2x-2-a＜0（a＞-1）的解集為：{x|-1＜x＜$\frac{a+2}{2}$}．

點評 本題考查不等式的解集的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．