Question

【題目】已知函數(shù)（）．

（1）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；

（2）若函數(shù)在處取得極值，（0，），恒成立，求實數(shù)的最大值．

Answer 1

【答案】（1）時，在（0，）上沒有極值點；當(dāng)時，在（0，）上有一個極值點.（2）

【解析】

（1）首先求得函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)，對分成和兩種情況，討論的極值點個數(shù).

（2）利用求得的值，將不等式分離常數(shù)，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，由此求得的取值范圍，進而求得實數(shù)的最大值.

（1）的定義域為（0，），

.

當(dāng)時，在（0，）上恒成立，函數(shù)在（0，）上單調(diào)遞減.

∴在（0，）上沒有極值點.

當(dāng)時，由，得；

由，得，

∴在（0，）上遞減，在（，）上遞增，即在處有極小值.

綜上，當(dāng)時，在（0，）上沒有極值點；

當(dāng)時，在（0，）上有一個極值點.

（2）∵函數(shù)在處取得極值，

∴，則，從而.

因此，

令，則，

令，得，

則在（0，）上遞減，在（，）上遞增，

∴，即.

故實數(shù)的最大值是.