Question

已知f（x）（x∈R）對任意實數(shù)x₁，x₂都有f（x₁+x₂）+f（x₁-x₂）=2f（x₁）•f（x₂），求證：f（x）為偶函數(shù)．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：令x₁=x，x₂=0，則有f（x）+f（x）=2f²（x），可求得f（x），再分根據(jù)函數(shù)圖象的性質，即可證明．

解答： 證明：∵對任意實數(shù)x₁，x₂都有f（x₁+x₂）+f（x₁-x₂）=2f（x₁）•f（x₂），
∴令x₁=x，x₂=0，則有f（x）+f（x）=2f²（x），
∴f（x）=0，或f（x）=1，
∴直線y=0與直線y=1分別關于y軸對稱，
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．

點評：本題考查了抽象函數(shù)及其應用以及函數(shù)奇偶性的判斷．抽象函數(shù)給定恒等式時，關鍵是根據(jù)所要求的表達式進行恰當?shù)馁x值，以及利用函數(shù)圖象的性質，屬于基礎題．