Question

12．在極坐標(biāo)系Ox中，曲線C的極坐標(biāo)方程為p²=$\frac{144}{9+7si{n}^{2}θ}$，以極點O為直角坐標(biāo)原點、極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)曲線C與x軸、y軸的正半軸分別交于點A、B，P是曲線C上一點，求△ABP面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）先求出直線AB的方程，設(shè)P（4cosθ，3sinθ），求出P到直線AB的距離，由此能求出△ABP面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{144}{9+7si{n}^{2}θ}$，
∴9ρ²+7ρ²sin²θ=144，
由ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，
可得曲線C的直角坐標(biāo)方程為9x²+9y²+7y²=144．
即曲線C的直角坐標(biāo)方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．…（5分）
（Ⅱ）∵曲線C與x軸、y軸的正半軸分別交于點A、B，
∴A（4，0），B（0，3），∴直線AB的方程為3x+4y-12=0，
設(shè)P（4cosθ，3sinθ），則P到直線AB的距離為：
d=$\frac{|12cosθ+12sinθ-12|}{5}$=$\frac{|12\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）-12|}{5}$，
當(dāng)θ=$\frac{5π}{4}$時，d_max=$\frac{|12\sqrt{2}+12|}{5}$，
∴△ABP面積的最大值為$\frac{1}{2}$×|AB|×$\frac{|12\sqrt{2}+12|}{5}$=6（$\sqrt{2}$+1）．…（10分）

點評 本題考查曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．