Question

設(shè)，，其中是常數(shù)，且．

（1）求函數(shù)的極值；

（2）證明：對(duì)任意正數(shù)，存在正數(shù)，使不等式成立；

（3）設(shè)，且，證明：對(duì)任意正數(shù)都有：．

 

Answer 1

【答案】

(1) 當(dāng)時(shí)，取極大值，但沒有極小值;(2)詳見解析;(3)詳見解析.

【解析】

試題分析：(1)先求導(dǎo)，再討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后寫出函數(shù)的極值；(2)通過依次構(gòu)造函數(shù)、和，利用導(dǎo)數(shù)來研究其單調(diào)性和最值情況，從而用來比較大小，最終達(dá)到證明不等式的目的; (3)先把所要證明的不等式的左邊轉(zhuǎn)變到函數(shù)的問題，得到相關(guān)的不等式，再借助(1)中的結(jié)論得到，最后取即可證得.

試題解析：（1）∵，         1分

由得，，

∴，即，解得，        3分

故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

∴當(dāng)時(shí)，取極大值，但沒有極小值．        4分

（2）∵，又當(dāng)時(shí)，令，則

，

故，因此原不等式化為，即，

令，則，

由得：，解得，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

故當(dāng)時(shí)，取最小值，  8分

令，則．

故，即．

因此，存在正數(shù)，使原不等式成立．         10分

（3）對(duì)任意正數(shù)，存在實(shí)數(shù)使，，

則，，

原不等式，

           12分

由（1）恒成立，故，

取，即得，

即，故所證不等式成立．            14分

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，2、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，3、不等式的證明.