Question

5．在△ABC中，D、E分別為BC、AC的中點，且$\overrightarrow{AG}$=2$\overrightarrow{GD}$，設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$．
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示向量$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AG}$，$\overrightarrow{BG}$；
（2）求證：B、G、E三點共線．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意畫出圖形，利用平面向量的線性運算，即可用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{AG}$和$\overrightarrow{BG}$；
（2）證明$\overrightarrow{BG}$與$\overrightarrow{BE}$共線，即可證明B、G、E三點共線．

解答 解：（1）如圖所示，
△ABC中，D、E分別為BC、AC的中點，且$\overrightarrow{AG}$=2$\overrightarrow{GD}$，
設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CD}$，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$；
$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$，
$\overrightarrow{BG}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AG}$=-$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$；
（2）∵$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AE}$=-$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$=-$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$，
$\overrightarrow{BG}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$=$\frac{2}{3}$（-$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$），
∴$\overrightarrow{BG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BE}$；
∴$\overrightarrow{BG}$與$\overrightarrow{BE}$共線，
即B、G、E三點共線．

點評 本題考查了平面向量的線性運算與證明三點共線的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．