Question

已知函數(shù).

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）設(shè).如果對(duì)任意，，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）在單調(diào)增加，在單調(diào)減少

（Ⅱ）（-∞，-].

【解析】（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式和，求出單調(diào)區(qū)間．（2）根據(jù)第一問(wèn)的單調(diào)性先對(duì)|f（x₁）-f（x₂）|≥2|x₁-x₂|進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，轉(zhuǎn)化成研究g（x）=f（x）+2x在（0，+∞）單調(diào)減函數(shù)，再利用參數(shù)分離法求出a的范圍．

解：（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?，+∞）. .

當(dāng)時(shí)，＞0，故在（0，+∞）單調(diào)增加；

當(dāng)時(shí)，＜0，故在（0，+∞）單調(diào)減少；

當(dāng)-1＜＜0時(shí)，令=0，解得.

則當(dāng)時(shí)，＞0；時(shí)，＜0.

故在單調(diào)增加，在單調(diào)減少.

（Ⅱ）不妨假設(shè)，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）單調(diào)減少，從而

，

等價(jià)于

，           ①

令，則

①等價(jià)于在（0，+∞）單調(diào)減少，即

從而，令，，則

故a的取值范圍為（-∞，-].