Question

【題目】已知函數.

（1）若，恒有成立，求實數的取值范圍；

（2）若函數有兩個極值點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）;（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）分離參數，構造函數，利用導數求出函數的最值即可；

（2）函數有兩個極值點，即導函數有兩個不同的實數根，對進行分類討論，令，構造，利用的單調性證明不等式即可.

試題解析：

（1）由，恒有成立，即，對任意成立,

記，，

當，單增；當，單減；最大值為，

所以

（2）函數有兩個相異的極值點，即有兩個不同的實數根．

①當時， 單調遞增， 不可能有兩個不同的實根；

②當時，設，，

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減；

∴，∴，

不妨設，∵，

∴，，，

先證，即證，即證，

令，即證，設，

則，函數在單調遞減，

∴，∴，又，∴，

∴