Question

15．若方程（a²+b²）x²-2b（a+c）x+b²+c²=0（a、b、c為非零實數(shù)）有實根，求證：a、b、c成等比數(shù)列．

Answer 1

分析 由二次方程有實根的條件：判別式非負(fù)，化簡整理，由完全平方公式，可得ac-b²=0，再由等比數(shù)列的性質(zhì)即可得證．

解答 證明：方程（a²+b²）x²-2b（a+c）x+b²+c²=0（a、b、c為非零實數(shù)）有實根，
即有判別式△=4b²（a+c）²-4（a²+b²）（b²+c²）≥0，
化簡可得2ab²c-a²c²-b⁴≥0，
即有（ac-b²）²≤0，
又（ac-b²）²≥0，
則ac-b²=0，
即有b²=ac，
則有a、b、c成等比數(shù)列．

點評 本題考查二次方程有實根的條件，同時考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查化簡整理的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．