Question

設(shè)函數(shù)f（x）=mx²-（4+m²）x，其中m∈R且m＞0，區(qū)間D={x|f（x）＜0}，給定常數(shù)t∈（0，2），當(dāng)2-t≤m≤2+t時(shí)，求區(qū)間D的長(zhǎng)度的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先解不等式f（x）＜0，可得區(qū)間D，由區(qū)間長(zhǎng)度定義可求得D的長(zhǎng)度；然后設(shè)d（m）=

m2+4

m

，則d′（m）=

m2-4

m2

，令d′（m）=0，得m=4，根據(jù)t∈（0，2），判斷出當(dāng)2-t≤m≤2+t時(shí)，d（m）單調(diào)遞減，進(jìn)而求出區(qū)間D的長(zhǎng)度的最大值即可．

解答： 解：因?yàn)榉匠蘭x²-（4+m²）x=0（m＞0）有兩個(gè)實(shí)根x₁=0，x2=

m2+4

m

＞0，
故f（x）＜0的解集為{x|x₁＜x＜x₂}，
因此區(qū)間D=（0，

m2+4

m

），區(qū)間長(zhǎng)度為

m2+4

m

；
設(shè)d（m）=

m2+4

m

，則d′（m）=

m2-4

m2

，
令d′（m）=0，得m=4，
由于0＜t＜2，
故當(dāng)2-t≤m＜2+t時(shí)，d′（m）＜0，d（m）單調(diào)遞減，
因此當(dāng)2-t≤m≤2+t時(shí)，d（m）的最大值必定在m=2-t處取得，
即當(dāng)m=2-t時(shí)，區(qū)間D的長(zhǎng)度的最大值為

t2-4t+8

2-t

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次不等式的求解，以及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用，屬于中檔題．