Question

如圖直三棱柱ABB₁-DCC₁中，∠ABB₁=90°，AB=4，BC=2，CC₁=1，DC上有一動(dòng)點(diǎn)P，則△APC₁周長(zhǎng)的最小值是

 

．

Answer 1

分析：不妨令CP=a，則DP=4-a，分別在直角三角形ADC中求AP，在直角三角形C₁PC求出C₁P，在直角三角形C₁CA求出C₁A，然后相交求周長(zhǎng)．將周長(zhǎng)表示為參數(shù)a的函數(shù)，由于a∈[0，4]，在這個(gè)區(qū)間上求出周長(zhǎng)的最小值即可．

解答：解：DC上有一動(dòng)點(diǎn)P，令CP=a，則DP=4-a，
由于直三棱柱ABB₁-DCC₁中，∠ABB₁=90°，AB=4，BC=2，CC₁=1，
∴周長(zhǎng)S=AP+C₁P+C₁A=

4+(4-a)2

+

1+a2

+

1+|AC|2

=

4+(4-a)2

+

1+a2

+

1+22+42

=

4+(4-a)2

+

1+a2

+

21

=

[0-(-2)]2+(a-4)2

+

(0-1) 2+(a-0)2

+

21

其中是

[0-(-2)]2+(a-4)2

+

(0-1) 2+(a-0)2

可以看作平面直角坐標(biāo)系中（a，0）與兩點(diǎn)（4，-2）以及（0，1）兩點(diǎn)距離和的最小值，由圖形中點(diǎn)（a，0）恰好是過(guò)兩點(diǎn)（4，-2）與（0，1）的直線與x軸的交點(diǎn)時(shí)，上式的值最�。�
由兩點(diǎn)式知過(guò)兩點(diǎn)（4，-2）與（0，1）的直線的方程是3x+4y-4=0，其與x軸的交點(diǎn)是（

4

3

，0），
即當(dāng)a=

4

3

時(shí)，

[0-(-2)]2+(a-4)2

+

(0-1) 2+(a-0)2

的最小值為兩點(diǎn)（4，-2）與（0，1）的距離，其值為

(4-0)2+ (-2-1)2

=5，故周長(zhǎng)為5+

21

故答案為5+

21

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是點(diǎn)、線、面之間的距離，考查用勾股定理在直角三角形中求兩點(diǎn)間的距離，解答本題的關(guān)鍵是找到所求線段存在的直角三角形，由于本題是一個(gè)直三棱柱且其兩個(gè)側(cè)面垂直，這為找出各求各邊所在的直角三角形帶來(lái)了方便，此做法空間想象能力要求較高，解答本題也可以用空間向量法，請(qǐng)做題時(shí)比較一下兩種方法在求最值方面的異同．