Question

已知函數

（Ⅰ）若函數在處的切線垂直軸,求的值；

（Ⅱ）若函數在區(qū)間上為增函數，求的取值范圍；

（Ⅲ）討論函數的單調性.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）（1）當時，函數在上遞減，在上遞增； （2）當時，函數在上遞增，在上遞減，在上遞增 ，（3）當時，函數在上遞增；（4）當時，函數在上遞增，在上遞減，在上遞增．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）若函數在處的切線垂直軸,求的值，只需對求導，讓它的導數在處的值即為切線的斜率，而切線垂直軸,故斜率為零，即，就能求出的值，此類題主要運用導數的幾何意義來解，一般不難；（Ⅱ）若函數在區(qū)間上為增函數，求的取值范圍，只需對求導，讓它的導函數在區(qū)間上恒大于零，這樣轉化為恒成立問題，解這類為題，只需分離參數，把含有參數放到不等式一邊，不含參數放到不等式的另一邊，轉化為求不含參數一邊的最大值或最小值即可，此題分離參數得：，只需求出的最大值即可；（Ⅲ）討論函數的單調性，只需對求導，判斷它的導函數在區(qū)間上的符號，求出導數得，由于的值不知，需討論的取值范圍，從而確定的單調性．

試題解析：（Ⅰ）因為，故， 函數在處的切線垂直軸，所以；

（Ⅱ）函數在為增函數，所以當時，恒成立，分離參數得：，從而有：；

（Ⅲ）， ，令，因為函數的定義域為，所以（1）當，即時，函數在上遞減，在上遞增； （2）當，即時，函數在上遞增，在上遞減，在上遞增 ，（3）當，即時，函數在上遞增；（4）當，即時，函數在上遞增，在上遞減，在上遞增．

考點：函數與導數，導數與函數的單調性、導數的幾何意義，學生的基本推理能力，及基本運算能力以及轉化與化歸的能力.