Question

已知(－)ⁿ的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列．(1)證明：展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；

(2)求展開式中所有有理項(xiàng)．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析     (2) T₁＝x⁴，T₅＝x，T₉＝x^－2.

【解析】(1)本小題利用展開式的通項(xiàng)，只要說明x的系數(shù)不可能等于零即可.在具體證明時(shí)可采用反證法.

(2)根據(jù)展開式的通項(xiàng)公式，讓x的系數(shù)為整數(shù)，看有哪些項(xiàng)即可

依題意，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值是1， ()， ()²，

且2·＝1＋ ()²，即n²－9n＋8＝0，∴n＝8(n＝1舍去)，

∴展開式的第k＋1項(xiàng)為 ()^8－k(－)^k

＝(－)^k·x·x－＝(－1)^k··x.

 (1)證明：若第k＋1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，

當(dāng)且僅當(dāng)＝0，即3k＝16，∵k∈Z，∴這不可能，∴展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)．

(2)若第k＋1項(xiàng)為有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù)，∵0≤k≤8，k∈Z，∴k＝0,4,8，

即展開式中的有理項(xiàng)共有三項(xiàng)，它們是：T₁＝x⁴，T₅＝x，T₉＝x^－2.