Question

函數(shù)f（x）=-sin²x+sinx+1，x∈[0，

5

4

π]的值域?yàn)?div id="ge0wqaq" class='quizPutTag' contenteditable='true'> 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：先根據(jù)x的范圍確定sinx的范圍，利用換元法把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的一元二次函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最大值和最小值．

解答： 解：∵x∈[0，

5π

4

]，
∴sinx∈[-

2

2

，1]，
設(shè)sinx=t，則t∈[-

2

2

，1]，
y=-t²+t-1，對稱軸為t=

1

2

，開口向下，在區(qū)間[-

2

2

，

1

2

]上單調(diào)增，
在[

1

2

，1]上單調(diào)減，
∴y_max=f（

1

2

）=-

1

4

+

1

2

-1=-

3

4

，
y_min=f（-

2

2

）=-

1

2

-

2

2

-1=-

3+ 2

2

，
∴函數(shù)的值域?yàn)椋篬-

3+ 2

2

，-

3

4

]，
故答案為：[-

3+ 2

2

，-

3

4

]

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)求最值．解題的關(guān)鍵時(shí)利用換元法，利用二次函數(shù)的性質(zhì)來解決．