Question

7．已知點F是拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點，一點M（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）滿足線段MF的中點在拋物線C上．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若直線MF與拋物線C相交于A、B兩點，求線段AB的長．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點，得到線段MF的中點坐標，利用中點在拋物線C上列出方程即可求解拋物線C的方程．
（2）求出直線MF的方程，與y²=x聯(lián)立消去y得，求出AB坐標，即可求解距離．

解答 解：（1）拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為$F（{\frac{p}{2}，\;0}）$…（1分）
∴線段MF的中點為$（{\frac{p}{4}，\;\frac{{\sqrt{2}}}{4}}）$…（3分）
∵線段MF的中點在拋物線C上，∴${（{\frac{{\sqrt{2}}}{4}}）^2}=2p×\frac{p}{4}$，∵p＞0，∴$p=\frac{1}{2}$…（5分）
∴拋物線C的方程為y²=x…（6分）
（2）直線MF的方程為$\frac{x}{{\frac{1}{4}}}+\frac{y}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}=1$，即$4x+\sqrt{2}y-1=0$，…（8分）
與y²=x聯(lián)立消去y得，16x²-10x+1=0…（9分）
解得$x=\frac{1}{2}$或$x=\frac{1}{8}$，…（10分）
當$x=\frac{1}{2}$時，$y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；當$x=\frac{1}{8}$時，$y=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
∴$A（{\frac{1}{2}，\;-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}），\;B（{\frac{1}{8}，\;\frac{{\sqrt{2}}}{4}}）$或$B（{\frac{1}{2}，\;-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}），\;A（{\frac{1}{8}，\;\frac{{\sqrt{2}}}{4}}）$
∴$|AB|=\sqrt{{{（{\frac{1}{2}-\frac{1}{8}}）}^2}+{{（{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{4}}）}^2}}=\frac{9}{8}$…（12分）

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系的應用，考查分析問題解決問題的能力．