Question

7．已知銳角△ABC中，角A、B、C所對邊的角分別為a，b，c且$\overrightarrow{m}$=（a²+c²-b²，ac），$\overrightarrow{n}$=（tanB，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{m}$$⊥\overrightarrow{n}$．
（1）求角B的大小；
（2）若b=2，①求ac的最大值；②求a+c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的數(shù)量積運算，以及余弦定理和同角的三角函數(shù)的關(guān)系即可求出，
（2）根據(jù)余弦定理b²=a²+c²-2accosB以及基本不等式即可求出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{m}$=（a²+c²-b²，ac），$\overrightarrow{n}$=（tanB，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{m}$$⊥\overrightarrow{n}$，
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（a²+c²-b²）tanB-3ac=0，
∴tanBcosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$，
（2）由余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB，即4=a²+c²-2ac×$\frac{1}{2}$，
∴ac+4=a²+c²≥2ac，即ac≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時取等號，
則ac的最大值為4，
∴（a+c）²=a²+c²+2ac=4+3ac≤16，又a+c＞b=2，
則a+c的取值范圍是（2，4]．

點評 本題考查了向量的坐標(biāo)運算以及向量的數(shù)量積以及余弦定理和基本不等式，屬于中檔題．