Question

19．已知Rt△ABC的周長為定值2，則它的面積最大值為3-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設直角邊長為a，b，則斜邊長為$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，利用直角三角形ABC的三邊之和為2，可得a+b+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2，利用基本不等式，即可求△ABC的面積的最大值．

解答 解：設直角邊長為a，b，則斜邊長為$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，
∵直角三角形ABC的三邊之和為2，
∴a+b+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2，
∴2≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$，
∴$\sqrt{ab}$≤$\frac{2}{2+\sqrt{2}}$=2-$\sqrt{2}$，
∴ab≤6-4$\sqrt{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$ba≤3-2$\sqrt{2}$，
∴△ABC的面積的最大值為3-2$\sqrt{2}$．
故答案為：3-2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查基本不等式的運用，考查學生的計算能力，正確運用基本不等式是關鍵，屬于中檔題．