Question

（本題滿分14分）

已知函數(shù)f（x）=lnx+

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)mR，對(duì)任意的a∈（-l，1），總存在x_o∈[1，e]，使得不等式ma － (x_o)<0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（Ⅲ）證明：ln² l+ 1n²2,+…+ln² n>∈N*）．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.

（Ⅱ）的取值范圍是.

（Ⅲ）見解析。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）.

令，得，因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.

令，得，因此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.…………（4分）

（Ⅱ）依題意，.

由（Ⅰ）知，在上是增函數(shù)，

.

，即對(duì)于任意的恒成立.

解得.

所以，的取值范圍是.   …………………………（8分）

（Ⅲ）由（Ⅰ），

，.

.

即.

又，

.

.

由柯西不等式，.

..     ……………………（14分）

考點(diǎn)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用， 柯西不等式的應(yīng)用。

點(diǎn)評(píng)：較難題，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，解題時(shí)注意函數(shù)的定義域，避免出錯(cuò)