Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)在時(shí)取得極值，求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）兩個(gè).

【解析】

（Ⅰ），由，解得，檢驗(yàn)時(shí)取得極小值即可；（II）令，由，得，討論單調(diào)性得在時(shí)取得極小值，并證明極小值為.再由零點(diǎn)存在定理說(shuō)明函數(shù)在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，即可解得

（I）定義域?yàn)?/span>.

.

由已知，得，解得.

當(dāng)時(shí)，.

所以.

所以減區(qū)間為，增區(qū)間為.

所以函數(shù)在時(shí)取得極小值，其極小值為，符合題意

所以.

（II）令，由，得.

所以.

所以減區(qū)間為，增區(qū)間為.

所以函數(shù)在時(shí)取得極小值，其極小值為.

因?yàn)?/span>，所以.

所以.所以.

因?yàn)?/span>，

又因?yàn)?/span>，所以.

所以.

根據(jù)零點(diǎn)存在定理，函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

因?yàn)?/span>，.

令，得.

又因?yàn)?/span>，所以.

所以當(dāng)時(shí)，.

根據(jù)零點(diǎn)存在定理，函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

所以，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).