Question

11．在等比數(shù)列{a_n}中，已知a₁=2，且a₂，a₁+a₃，a₄成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n²-a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，記b_n=$\frac{{2}^{n}}{{S}_{n}}$，求證：數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用a₂，a₁+a₃，a₄成等差數(shù)列及a₁=2，計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過S_n=（a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²）-（a₁+a₂+a₃²+…+a_n）可得b_n的表達(dá)式，分離分母、并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由已知得：2（a₁+a₃）=a₂+a₄，
即2（a₁+a₁q²）=a₁q+a₁q³，解得q=2，
又∵a₁=2，∴a_n=a₁q^n-1=2ⁿ；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得：S_n=（a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²）-（a₁+a₂+a₃²+…+a_n）
=（4+4²+4³+…+4ⁿ）-（2+2²+2³+…+2ⁿ）
=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$-$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=$\frac{2}{3}$（2ⁿ-1）（2ⁿ⁺¹-1），
∴b_n=$\frac{{2}^{n}}{{S}_{n}}$=$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$），
∴T_n=$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{{2}^{1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{1}{{2}^{2}-1}$-$\frac{1}{{2}^{3}-1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）
=$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{{2}^{1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）
=$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）
＜$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的取值范圍，注意解題方法的積累，屬于中檔題．