Question

(理)如圖,在四棱錐P—ABCD中,側(cè)面PAD是正三角形且與底面ABCD垂直,底面ABCD是矩形,E是AB的中點(diǎn),PC與平面ABCD所成的角為30°.

(1)若平面PAB∩平面PCD=l,試判斷直線l與平面ABCD的關(guān)系,并加以證明;

(2)求平面PAB與平面PCD所成二面角的大小;

(3)當(dāng)AD為多長(zhǎng)時(shí),點(diǎn)D到平面PCE的距離為2?

(文)在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中,BB₁=2AB=4,E、F分別是棱AB與BC的中點(diǎn).

(1)求二面角EFB₁B的平面角的正切值.

(2)在棱DD₁上能否找到一點(diǎn)M,使BM⊥平面B₁EF?若能,試確定M的位置;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解：(理)(1)l與面ABCD平行.證明:∵DC∥AB,DC面PAB,∴DC∥面PAB.∵DC面PDC,面PAB∩面PCD=l,∴l(xiāng)∥DC.又l面ABCD,DC面ABCD,∴l(xiāng)∥面ABCD.

(2)由(1),可知面PAB∩面PCD=l.∵面PAD⊥面ABCD,ABCD為矩形,∴AB⊥面PAD.∵l∥DC∥AB,∴l(xiāng)⊥面PAD.∴l(xiāng)⊥AD.同理,l⊥AP.∴∠PAD為面PAB與面PDC所成二面角的平面角.∵△PAD是正三角形,∴面PAB與面PDC所成二面角大小為60°.

(3)設(shè)AD的中點(diǎn)為F,且AD=a,則PF⊥AD.∴∠PCF=30°.∴PF=a.∴CF=a,CD=a.

由V_D—PEC=V_P—DEC,得S_△DEC·PF=S_△PEC·2.∴·a·a·=2·S_△PEC,①

易求PE=EC=a,PC=a.∴S_△PCE=|PC|.②

由①②,得a=.

(文)(1)過(guò)B點(diǎn)作BG⊥B₁F,垂足為G點(diǎn),連結(jié)EG.∵EB⊥面BB₁C₁C,根據(jù)三垂線定理,知∠EGB即為所求二面角的平面角.

EB=AB=1,BG=.∴tan∠EGB=,二面角EFB₁B的平面角的正切值為.

(2)設(shè)存在M點(diǎn).

EF∩DB=H.已知BD=,BH=.∵EF⊥面BB₁D₁D,∴EF⊥B₁H,EF⊥BM.在如圖所示的截面中,BM⊥B₁H,

∴tanθ=.∴DM=,即存在點(diǎn)M,且D₁M=或DM=.