Question

設(shè)S_n是數(shù)列{}的前n項(xiàng)的和,是否存在關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)f(n),使S₁+S₂+…+S_n-1=f(n)［S_n-1］對于大于1的正整數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論.

Answer 1

解析：假設(shè)存在f(n)，使等式成立.

當(dāng)n=2時(shí)，S₁=f(2)(S₂-1),

即1=f(2)(1+-1)，解得f(2)=2.

當(dāng)n=3時(shí)，S₁+S₂=f(3)(S₃-1),即1+1+=f(3)(1++-1),∴f(3)=3.

猜想f(n)=n(n≥2).

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n≥2時(shí)，等式S₁+S₂+…+S_n-1=n(S_n-1)恒成立.

①當(dāng)n=2時(shí)，由上面計(jì)算知，等式成立.

②假設(shè)n=k(k≥2)時(shí)，等式成立，即

S₁+S₂+…+S_n-1=k(S_k-1),則

S₁+S₂+…+S_k-1+S_k=k(S_k-1)+S_k=(k+1)S_k-k=(k+1)(S_k+1-)-k

=(k+1)S_k+1-1-k=(k+1)(S_k+1-1),

即n=k+1時(shí)，等式也成立.

由①②知，對一切n≥2，等式都成立.

故存在f(n)=n,使S₁+S₂+…+S_n-1=f(n)(S_n-1)對大于1的正整數(shù)n都成立.