Question

已知幾何體A—BCED的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．

   （1）求異面直線DE與AB所成角的余弦值；

   （2）求二面角A-ED-B的正弦值；

（3）求此幾何體的體積V的大小.

Answer 1

（1）（2）（3）16

解析:

證明：（1）取EC的中點是F，連結BF，

則BF//DE，∴∠FBA或其補角即為異面直線DE與AB所成的角．

在△BAF中，AB=，BF=AF=．∴．

∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為．………5分

   （2）AC⊥平面BCE，過C作CG⊥DE交DE于G，連AG．

可得DE⊥平面ACG，從而AG⊥DE

∴∠AGC為二面角A-ED-B的平面角．

在△ACG中，∠ACG=90°，AC=4，ＣG=

∴．∴．

∴二面角A-ED-B的的正弦值為．…………………………10分

（3）

∴幾何體的體積V為16．………………………………………15分

方法二：（坐標法）（1）以C為原點，以CA，CB，CE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系．

則A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2），E（0，0，4）

，∴

∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為．………5分

（2）平面BDE的一個法向量為，

設平面ADE的一個法向量為，

∴

從而,

令，則,

∴二面角A-ED-B的的正弦值為．…………………………10分

（3），∴幾何體的體積V為16．……………15分