Question

3．已知數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)等比數(shù)列，a₁，$\frac{1}{2}$a₃，2a₂成等差數(shù)列，則$\frac{{a}_{2014}+{a}_{2015}}{{a}_{2012}+{a}_{2013}}$=$3+2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)出等比數(shù)列的公比，結(jié)合a₁，$\frac{1}{2}$a₃，2a₂成等差數(shù)列求得公比，再由$\frac{{a}_{2014}+{a}_{2015}}{{a}_{2012}+{a}_{2013}}$=q²得答案．

解答 解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
由a₁，$\frac{1}{2}$a₃，2a₂成等差數(shù)列，得a₃=a₁+2a₂，
即${a}_{1}{q}^{2}={a}_{1}+2{a}_{1}q$，q²-2q-1=0，解得：$q=1-\sqrt{2}$（舍），q=1+$\sqrt{2}$．
∴$\frac{{a}_{2014}+{a}_{2015}}{{a}_{2012}+{a}_{2013}}$=$\frac{{q}^{2}（{a}_{2012}+{a}_{2013}）}{{a}_{2012}+{a}_{2013}}={q}^{2}=（1+\sqrt{2}）^{2}$=$3+2\sqrt{2}$．
故答案為：$3+2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．