Question

9．橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長軸為4$\sqrt{3}$，焦距為4$\sqrt{2}$．
（Ⅰ） 求橢圓G的方程；
（Ⅱ） 若斜率為1的直線l與橢圓G交于A、B兩點，且點P（-3，2）在線段AB的垂直平分線上，求△PAB的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：$2a=4\sqrt{3}，2c=4\sqrt{2}$，由b²=a²-c²，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）設直線l的方程為y=x+m代入橢圓，利用韋達定理、中點公式求得AB的中點Q的坐標及|x₁-x₂|，由兩點之間的距離公式求得丨PQ丨，則S_△PAB=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$|x₁-x₂|•丨PQ丨，從而求得△PAB的面積．

解答 解：（ I）由橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，
由已知$2a=4\sqrt{3}，2c=4\sqrt{2}$，
∴$a=2\sqrt{3}，c=2\sqrt{2}$，
則b²=a²-c²=4，
∴橢圓G的方程為$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$．
（ II）設直線l的方程為y=x+m，聯立$\left\{{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1}\end{array}}\right.$，得4x²+6mx+3m²-12=0，
∵直線l與橢圓G交于A、B兩點，
∴△=（6m）²-4×4×（3m²-12）＞0，即m²＜16；
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點$Q（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}）$，
∵$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-\frac{3m}{2}}\\{{y_1}+{y_2}={x_1}+{x_2}+2m=\frac{m}{2}}\end{array}}\right.$，
∴$Q（-\frac{3m}{4}，\frac{m}{4}）$；
又∵P（-3，2）在線段AB的垂直平分線上，
∴PQ⊥AB；
由直線AB斜率為1，
∴k_PQ=-1，即m=2（滿足要求）；
從而$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-3}\\{{x_1}•{x_2}=0}\end{array}}\right.$，即|x₁-x₂|=3，中點$Q（-\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$，
丨PQ丨=$\sqrt{（-3+\frac{3}{2}）^{2}+（2-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
因此△PAB的面積為S_△PAB=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$|x₁-x₂|•丨PQ丨=$\frac{9}{2}$，
△PAB的面積為S_△PAB=$\frac{9}{2}$．

點評 本題主要考查橢圓的定義和性質的應用，直線和橢圓的位置關系的應用，考查韋達定理弦長公式及點到直線的距離公式的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．