Question

【題目】已知函數(shù) .

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)遞增區(qū)間是，當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)遞增區(qū)間是， ，單調(diào)遞減區(qū)間是 ；（Ⅲ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，令f'（x）=0，得2x2-2x+a=0，對(duì)判別式討論，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間；（Ⅲ）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有兩個(gè)極值點(diǎn)，由（Ⅱ）可得不等式f（x1）≥mx2恒成立即為即為，令求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到h（x）的范圍，即可求得m的范圍．

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)楫?dāng)時(shí)， ，所以.

因?yàn)?/span>，所以切線方程為.

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，令，即.

（ⅰ）當(dāng)，即時(shí)， ，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，由，得，

① 若，由，得或；

由，得；

此時(shí)，函數(shù)在上遞減，在上遞增；

②若，則，函數(shù)在上遞減，在上遞增；

③若，則函數(shù)在上遞減，在上遞增.

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為在，無(wú)減區(qū)間；

當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)遞增區(qū)間是；

單調(diào)遞減區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則.

因?yàn)?/span>，

所以.

因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span> ，

所以.

設(shè)，則.

因?yàn)?/span>，且，

在上單調(diào)遞減，則，所以.