Question

如下圖，PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角為60°．

(Ⅰ)求證：平面PAC⊥平面ABC；

(Ⅱ)求二面角M－AC－B的大小；

(Ⅲ)求三棱錐P－MAC的體積．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(Ⅰ)∵ 　　∴， 　　又∵ 　　∴ 　　(Ⅱ)取的中點，則，連結(jié)， 　　∵，∴，從而 　　作，交的延長線于，連結(jié)，則由三垂線定理知，， 　　從而為二面角的平面角 　　直線與直線所成的角為 　　∴ 　　在中，由余弦定理得 　　在中， 　　在中， 　　在中， 　　故二面角的平面角大小為 　　(Ⅲ)由(Ⅱ)知，為正方形 　　∴ 　　解法二：(Ⅰ)同解法一 　　(Ⅱ)在平面內(nèi)，過作，建立空間直角坐標系(如下圖) 　　由題意有，設， 　　則 　　由直線與直線所成的解為，得 　　，即，解得 　　∴，設平面的一個法向量為， 　　則，取，得 　　平面的法向量取為 　　設與所成的角為，則 　　顯然，二面角的平面角為銳角， 　　故二面角的平面角大小為 　　(Ⅲ)取平面的法向量取為，則點A到平面的距離 　　∵，∴