Question

如圖所示，在四面體ABCD中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB＝BC＝1． (1) 求證：平面CBD⊥平面ABD (2) 是否存在這樣的四面體，使二面角C－AD－B的平面角為?如果存在，求出CD的長；如果不存在，請找出一個角θ，使得存在這樣的四面體，使二面角C－AD－B的平面角為θ

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解：∵AB⊥BC，AB⊥BD，∴AB⊥平面CBD．∵AB平面ABD，∴平面CBD⊥平面ABD． 　　分析：證明平面CBD⊥平面ABD比較容易．對于第(2)小題。由題設條件知，二面角C－AD－B的大小由D點的位置所確定，所以可引入線段參數(shù)CD=x，從假設存在入手，看滿足題設條件的x是否存在．

(2)

設CD=x，如圖所示，在平面BCD內(nèi)，作CE⊥BD，垂足為E；在平面ABD內(nèi)，作EF⊥AD，垂足為F，連結CF．∵平面BCD⊥平面ABD，CE⊥BD，∴CE⊥平面ABD，∴EF為CF在平面ABD內(nèi)的射影．∵EF⊥AD，∴CF⊥AD．故∠EFC是二面角C－AD－B的平面角． 　　在Rt△BCD中，由面積關系，得CE==． 　在Rt△ACD中，由面積關系，得CF==． 　　在Rt△CEF中，sin∠EFC==若∠EFC=則=化簡得x2=－3，無實數(shù)根．故不存在這樣的四面體ABCD，使二面角C－AD－B的平面角為． 　　∴sin∠EFC==∈(，1)，∴∠EFC∈(，)． 　　故θ可以取～之間的任意角． 　　點評：這是一道存在性的探索題，常假定結論成立，再判斷與已知條件是否矛盾．