Question

（本小題滿分14分）

已知圓心在軸上的圓過點和.

（1）求圓的方程；

（2）求過點且與圓相切的直線方程；

（3）已知線段的端點的坐標為，端點在圓上運動，求線段的中點N的軌跡.

Answer 1

（1） （2）或.

（3）點N的軌跡是以（，）為圓心，半徑為1的圓.

【解析】

試題分析：第一問先通過圓心在弦的中垂線上，從而得出圓心的位置，確定出圓的半徑，從而得出圓的方程，第二問涉及到圓的切線方程的求解問題，把握住圓心到直線的距離為半徑可得，對于第三問，把握住動點的軌跡方程的求法即可得結(jié)果.

試題解析：（1）線段AB的中點坐標為，斜率為 （1分）

所以線段AB的垂直平分線方程為，即為. （2分）

令，得，即圓心為. （3分）

由兩點間的距離公式，得. （4分）

∴適合題意的圓的方程為. （5分）

或：設(shè)圓心為，由得 （2分）

解得a=2，所以圓心為. （3分）

又半徑. （4分）

所以適合題意的圓的方程為. （5分）

（2）由（1）知圓的圓心坐標為，半徑

（i）當過點且與圓相切的直線的斜率不存在時，其切線方程為.（6分）

（ii）當過點且與圓相切的直線的斜率存在時，

設(shè)為，則切線方程為. （7分）

由圓心到切線的距離等于半徑，得，解得 （8分）

所以切線方程為 即

因此，過點且與圓相切的直線方程為或. （9分）

（3）設(shè)點N的坐標為，P點的坐標為.

由于Q點的坐標為且N為PQ的中點，所以，（10分）

于是有 ① （11分）

因為在圓上運動，所以有 （12分）

將①代入上式得，即 （13分）

所以，點N的軌跡是以（，）為圓心，半徑為1的圓. （14分）

考點：圓的方程，圓的切線，動點的軌跡.